Тест по математике

На доске написано несколько различных натуральных чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 7.

а) Может ли сумма этих чисел быть равна 231?

б) Может ли сумма этих чисел быть равна 1590?

в) Какое наибольшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 1056?

Пояснение:

а) Да, может. Числа 27, 57 и 147 дают в сумме 231.

б) Предположим, что это возможно. Каждое число оканчивается на 7, а их сумма — на 0. Такое возможно, если количество чисел кратно 10. Значит, таких чисел в любом случае не меньше 10. Число, делящееся на 3, оканчивается на 7, только если оно имеет вид 3n, где n — натуральное число, оканчивающееся на 9. Найдём сумму 10 наименьших чисел, оканчивающихся на 7: 27 + 57 + 87 + … + 297 = 3 · (9 + 19 + 29 + … + 99) = 3 · 540 = 1 620 > 1 590. Противоречие. Следовательно, требуемое невозможно.

в) Чтобы узнать последнюю цифру в сумме из n чисел, оканчивающихся на 7, нужно определить последнюю цифру в числе 7n. Последняя цифра равна 6, если n = 8, 18 и т. д. Найдём сумму 8 наименьших чисел, оканчивающихся на 7: 27 + 57 + 87 + … + 237 = 3 · (9 + 19 + 29 + … + 79) = 3 · 88 · 4 = 1 056. Это и будет примером в данной задаче. Таким образом, наибольшее количество чисел на доске равно 8.